POLINOMIAL (SUKU BANYAK)

Apa sih polinomial itu?

Assalamu'alaikum Wr.Wb.

Halo teman-teman,  disini saya akan membahas tentang polinomial (suku banyak). Untuk kalian yang memang belum mengetahui apa itu polinomial kalian bisa mencari tahu di blog ini. Selamat belajar !

Pengertian Polinomial

Polinomial adalah persamaan suku banyak yang memiliki variable, pangkat, koefisien, selisih dan jumlah , dan pangkat bernilai positif.

Contoh Polinomial

1. 2x^3+3x^2+2x+1
2. 3x^4+2x^2+3x+2
3. 5x^6+3x^3+4x^2+2
4.  x+1
5. x^4+2x^3-2x^2+x-4

Contoh Bukan Polinomial

1. 2x^3+4x^-2-x+6
2. 3x^2+x+√25
3. 2x^3.4^1/2
4. 4^2+x-1

Operasi Polinomial

Dalam operasi polinomial terdapat tiga operasi yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Untuk lebih

f(x) = 2x^4+4x^3+3x^2-5X+3

g(x)= 5x^4-5x^3-20

Penjumlahan:

f(x) + g(x) = (2x^4+4x^3+3x^2-5x+3)+(5X^4-5x^3-20)

                  =   (2x^4+5x^4)+(4x^3-5x^3)+(3x^2)-(5x)+(3-20)

                  =    7x^4-x^3+3x^2-5x-17

Pengurangan:

f(x) - g(x) = (2x^4+4x^3+3x^2-5x+3)-(5x^4-5x^3-20)

                  = 2x^4+4x^3+3x^2-5x+3-5x^4+5x^3+20

                  = 2x^4-5x^4+4x^3+5x^3+3x^2-5x+3+20

                  = -3x^4+9x^3+3x^2-5x+23

Perkalian:

f(x) . g(x) = (2x^4+4x^3+3x^2-5x+3).(5x^4-5x^3-20)

                 = 10x^8-10^7-40^4+20x^7-20x^6-80x^3+15x^6-15x^5-60x^2-                         25x^5+25x^4+100x+15x^4-15x^3-60 

                  = 10x^8-10x^7+20x^7-20x^6+15x^6-15x^5-25x^5-40x^4+25x^4-80x^3-15x^3-60x^2+100x-60

                  = 10x^8+10x^7-5x^6-40x^5-15x^4-95x^3-60x^2+100x-60

Algoritma Pembagian

Teman-teman dalam algoritma pembagian, ada dua cara untuk menyelesaikan soalnya, yaitu cara bersusun dan teorema Horner. Perhatikan baik-baik ya😊

Contoh soal:

f(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 4 : x - 2

Cara Bersusun

Algoritma pembagian : 

x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 4 = (x - 2) (x^3 + 4x^2 + 12x + 25) + (54)
Pembuktian :
(x - 2) (x^3 + 4x^2 + 12x + 25) + 54
= x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 25x - 2x^3 - 8x^2 - 24x - 50 + 54
= x^4 + 4x^3 - 2x^3 + 12x^2 - 8x^2 + 25x - 24x - 50 + 54
= x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x + 4 ( Terbukti 😊)

Teorema Horner

Untuk teorema Horner pertama harus membuat tabel seperti gambar dibawah, kedua masukkan nilai koefisien dengan berurutan (mulai dari pangkat tertinggi ke terendah), lalu operasikan yaitu tambah 0 terlebih dahulu dan kalikan dengan pembagi lakukan sampai selesai.

Teorema Sisa

Teorema sisa yaitu paparan yang harus dibuktikan. Teorema sisa dibagi tiga yaitu teorema sisa I, teorema sisa II, dan teorema sisa III. Sama dengan algoritma pembagian ada cara bersusun dan teorema Horner.

Teorema Sisa I

Jika suku banyak f(x) dibagi dengan (x - k) maka sisanya adalah f(x). 

Contoh soal: 

f(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5 : x - 2

Teorema Horner

Cara Bersusun

                                                     

Teorema sisa

Pada cara ini, tinggal subtitusi x menjadi nilai k.

Diketahui     : f(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5 : x - 2 

Ditanyakan : f(k)  ? 

Penyelesaian:

x - 2 = 0

      x = 2 ---> k = 2

f(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5
f(k) = k^4 + 3k^3 - 2k^2 + k - 5
f(2) = 2^4 + 3(2)^3 - 2(2)^2 + 2 - 5
f(2) = 16 + 24 - 8 - 3
f(2) = 29

Teorema Sisa II

Jika suatu banyak f(x) dibagi dengan ax-b makan akan bersisa f(b/a).

Contoh soal:

f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3

                      2x - 1

Cara Bersusun 

Teorema Horner

Teorema Sisa

Pada cara ini, tentukan terlebih dahulu nilai a dan b. Nilai a dan b diambil dari pembagi. 

Diketahui : f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3

                                        2x - 1
a = 2

b = 1 

Jadi, f(b/a) :

f(1/2)

Subtitusikan :

f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 3 

f(b/a) = (b/a)^3 + 2(b/a)^2 - 5(b/a) + 3

f(1/2) = (1/2)^3 + 2(1/2)^2 - 5(1/2) + 3

f(1/2) = (1/8) + 2/4 - 5/2 + 3

f(1/2) = 9/8

Teorema Sisa III

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x - a) . (x - b) maka bersisa p(x) + q dimana:

f(a) = p(a) + q

f(b) = p(b) + q

Contoh soal:
f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5
                x^2 - 2x - 3

Cara Bersusun

Teorema sisa

¤ Memfaktorkan x^2 - 2x -3, untuk mengetahui nilai a dan b.
 =  x^2 - 2x - 3
     (x - 3) (x + 1)
     a = 3
     b = -1

¤ Subtitusikan a = 3
f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5
f(a) = a^3 - 2a^2 + a - 5
f(3) = 3^3 - 2(3)^2 + 3 - 5
f(3) = 27 - 18 + 3 - 5
f(3) = 7

¤ Subtitusikan b = -1.
f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5
f(-1) = -1^3 - 2(-1)^2 + (-1) - 5
f(-1) = -1 - 2 -1 -5
f(-1) = -9

¤ Masukkan nilai a pada persamaan f(a) = p(a) + q.
   f(a) = p(a) + q
    f(3) = p(3) + q
      7   = 3p + q  ..... (1)

¤ Masukkan nilai b pada persamaan f(b) = p(b) + q.
   f(b) = p(b) + q
   f(-1) = p(-1) + q
    -9 = -p + q ..... (2)

¤ Mencari nilai p dan q dengan eliminasi dan subtitusi.
   Eliminasi.
    3p + q = 7
    -p + q  = -9  -
    4p       = 16
             p = 4
Subtitusi.
3p + q = 7
3(4) + q = 7
12 + q = 7
         q = 7 - 12
         q = -5

¤ Teorema sisa
   p(x) + q
 =4(x) + (-5)
 = 4x - 5

Teorema Faktor

Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai 0  maka itulah faktornya.

f(x) = p(x) . h(x) . s(x) , ∃ s(x) = 0

Contoh soal:

x^2 - 2x - 3

Penyelesaian:

1. Faktorkan.

            x^2 - 2x -3

            (x - 3) (x + 1)

            x - 3 = 0      x + 1 = 0

                 x = 3             x = 1

       

      2. Pembagian.

          (x^2 - 2x -3) (x + 3) = x^3 + x^2 - 9x - 9 

    

      3. Untuk mencari himpunan (hp) harus menggunakan teori Horner.

          

      

x^2 +  4x + 3 sederhanakan menjadi x.

(x + 1 ) (x + 3)

x + 1 = 0    x + 3 = 0

      x = -1          x = -3

   Hp = { -3, -1, 3 }

Jadi, f(x) = p(x) . h(x) .s(x)
x^3 - x^2 - 9x - 9 = (x - 3 ) . (x + 3) . (x + 1)


Sekian pembahasan mengenai polinomial. Semoga dapat membantu 😊😊